আনত তলে বস্তুর গতি

মূলনীতি (The Golden Rule)

আনত তলের যেকোনো সমস্যা সমাধানের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কৌশল হলো:

Important

"বস্তুর উপর প্রযুক্ত সকল বলকে সরাসরি আনুভূমিক বা উল্লম্ব উপাংশে ভাগ না করে, তলের সমান্তরাল (parallel) এবং তলের উপর লম্ব (perpendicular)—এই দুই দিকে উপাংশে ভাগ করে নিতে হবে।"

এতে আমাদের হিসাব অবিশ্বাস্যরকম সহজ হয়ে যায়, কারণ বস্তুর ত্বরণ ( $a$ ) সবসময় তলের সমান্তরালে এবং প্রতিক্রিয়া বল ( $R$ ) সবসময় তলের উপর লম্বভাবে কাজ করে।

ধাপ ১: বলগুলো চিহ্নিত করা

একটি মসৃণ (ঘর্ষণহীন) আনত তলের উপর $m$ ভরের একটি ব্লক রাখা আছে। এর উপর মূলত তিনটি বল কাজ করছে:

ওজন ( $m \vec{g}$ ): এটি সবসময় খাড়া নিচের দিকে, অর্থাৎ পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে কাজ করে। তলের কোণ যাই হোক, এর দিকের কোনো পরিবর্তন হবে না।
অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া বল ( $\vec{R}$ ): এটি সবসময় তলের উপর লম্বভাবে বাইরের দিকে কাজ করে।
ঘর্ষণ বল ( $\vec{f}$ ): (যদি তলটি মসৃণ না হয়) এটি সবসময় তলের সমান্তরালে গতির বিপরীত দিকে কাজ করে। আপাতত আমরা ঘর্ষণহীন তল নিয়েই আলোচনা করব।

ধাপ ২: ওজন ( $m \vec{g}$ )-কে উপাংশে ভাগ করা

যেহেতু আমরা আমাদের অক্ষ ব্যবস্থাটি তলের সাথে বাঁকিয়ে নিয়েছি, তাই ওজন ( $\vec{m g}$ ) ভেক্টরটি এখন আমাদের নতুন অক্ষ বরাবর নেই। তাই একে তলের সমান্তরাল ও লম্ব বরাবর দুটি উপাংশে ভাগ করতে হবে।

জ্যামিতিক বিশ্লেষণ:

আনত তলের কোণ $θ$ ।
জ্যামিতি থেকে প্রমাণ করা যায় যে, খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়ারত ওজন ( $\vec{m g}$ ) এবং তলের ওপর লম্ব রেখার মধ্যবর্তী কোণটিও $θ$ হয়।

উপাংশ দুটি হলো:

তলের উপর লম্ব উপাংশ: $m g \cos θ$
- এটি $θ$ কোণের সংলগ্ন বাহু।
- এর দিক তলের ওপর লম্বভাবে ভেতরের দিকে। এই উপাংশটি বস্তুকে তলের ওপর চেপে ধরে রাখে।
তলের সমান্তরাল উপাংশ: $m g \sin θ$
- এটি $θ$ কোণের বিপরীত বাহু।
- এর দিক তল বরাবর নিচের দিকে। এই উপাংশটিই বস্তুকে তল বেয়ে গড়িয়ে পড়তে সাহায্য করে।

ধাপ ৩: নিউটনের সূত্র প্রয়োগ

এখন আমরা আমাদের বাঁকানো অক্ষ বরাবর নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র ( $\sum F = m a$ ) প্রয়োগ করব।

ক) তলের উপর লম্ব বরাবর গতি:

এই দিক বরাবর বস্তুর কোনো সরণ বা ত্বরণ নেই (বস্তুটি তল ছেড়ে উপরেও যাচ্ছে না বা তল ভেদ করে নিচেও যাচ্ছে না)। সুতরাং, এই দিকে মোট বা লব্ধি বল শূন্য।

লম্বভাবে উপরের দিকের বল = $R$
লম্বভাবে নিচের দিকের বল = $m g \cos θ$

যেহেতু লব্ধি বল শূন্য,
$R - m g \cos θ = 0$
$∴ R = m g \cos θ$

:::success
💡 সিদ্ধান্ত:
আনত তলে প্রতিক্রিয়া বল বস্তুর ওজনের সমান নয়, বরং ওজনের $\cos θ$ উপাংশের সমান।
:::

খ) তলের সমান্তরাল বরাবর গতি:

এই দিক বরাবর বস্তুটি $a$ ত্বরণে নিচের দিকে নামছে। যে বলটি এই ত্বরণ সৃষ্টি করছে, তা হলো ওজনের $m g \sin θ$ উপাংশ।

তল বরাবর নিট বল = $m g \sin θ$

নিউটনের সূত্রানুযায়ী,

$\sum F_{parallel} = m a$
$m g \sin θ = m a$
$∴ a = g \sin θ$

:::success
💡 সিদ্ধান্ত: ঘর্ষণহীন আনত তলে গড়িয়ে পড়া বস্তুর ত্বরণ তার ভরের উপর নির্ভর করে না, কেবল অভিকর্ষজ ত্বরণ ( $g$ ) এবং তলের আনতি কোণের ( $θ$ ) উপর নির্ভর করে।
:::

এক নজরে সূত্র

রাশি	ঘর্ষণহীন তলের জন্য সূত্র	গুরুত্বপূর্ণ তথ্য
প্রতিক্রিয়া বল ( $R$ )	$R = m g \cos θ$	কোণ ( $θ$ ) বাড়লে $R$ কমে।
ত্বরণ ( $a$ )	$a = g \sin θ$	কোণ ( $θ$ ) বাড়লে $a$ বাড়ে।

বিশেষ ক্ষেত্র (Special Cases):

যদি তলটি আনুভূমিক হয় ( $θ = 0^{\circ}$ ):

$R = m g \cos 0^{\circ} = m g$ (প্রতিক্রিয়া বল ওজনের সমান)
$a = g \sin 0^{\circ} = 0$ (বস্তুর কোনো ত্বরণ থাকে না অর্থাৎ স্থির থাকে)

যদি তলটি উল্লম্ব হয় ( $θ = 90^{\circ}$ ):

$R = m g \cos 90^{\circ} = 0$ (বস্তুটি তলের সংস্পর্শে থাকে না)
$a = g \sin 90^{\circ} = g$ (বস্তুটি মুক্তভাবে পড়তে থাকে)

প্র্যাকটিকালি চিন্তা করে মিলিয়ে দেখো - টেবিলের উপরিতল আর খাড়া দেয়াল।